Bir konuyu anlatırken kullandığımız sözcük ve terimler birer kavramdır. Örneğin;
ağaç, yeşil, kuş, bulut, tabiat,... sizce belli anlamlarda kullanılan kavramlardır. Bu
sözcüklerden birini, örne¤in “ağaç” sözcüğünü ele alalım. “Ağaç nedir?” sorusuna
verilebilecek uygun yanıtlardan birisi “Yaprakları ve meyvesi olan bir bitki çeşididir.”
olabilir. Verilen bu yanıtta geçen kavramlarla ilgili olarak “Yaprak nedir?”, “Meyve
nedir?”, “Bitki nedir?” sorularına verilebilecek yanıtlar içinde de açıklanması gereken
yeni kavramlar bulunur. Bu şekilde kavramları açıklamaya devam edersek bir yere
gelir, açıklayamayacağımız bir kavramla karşılaşırız.
Anlamı en azından sezgisel olarak bilinen veya kabullenebilen kavramlar,
tanımlanmaya ihtiyaç duyulmadan alınır. İşte ilk dayanak olarak alınan böyle kavramlara
tanımsız kavramlar denir.
fiimdiye kadar geometrik kavramlardan açıları, çokgenleri, çemberi, uzayda cisimleri
ve bunlara ilişkin alan ve hacim bağıntılarını öğrendiniz. fiimdi bu kitapta bazı önerme
ve bağıntıların varlığı ile ilgili ispatlara da yer vereceğiz. Bu nedenle teorem, ispat ve
aksiyom kelimeleri ile sık sık karşılaşacağız.
Doğruluğu ispatlanan önermelere teorem denir.
p ve q birer önerme olmak üzere bir teorem sembolik olarak “p ⇒ q”
biçiminde ifade edilebilir. Burada p önermesine hipotez, q önermesine hüküm denir.
Bir teoremi ispatlarken, yani bir önermenin doğruluğunu gösterirken, önceki
teoremlerden yararlanacağız. Önceki teoremlerin ispatı da daha önceki teoremlere
dayanacağından tıpkı tanımsız kavramlarda olduğu gibi ilk önermeleri ispatsız olarak
kabul edeceğiz. Doğruluğu ilk baştan kabul edilen böyle önermelere aksiyom diyeceğiz.
Aksiyom, doğruluğu sezgisel olarak bilinen ve ispatsız olarak kabul edilmiş olan
temel gerçeklerdir.
Rastgele bir önerme aksiyom olarak alınamaz. Genel olarak aksiyomlar:
- Basit ve anlaşılır olmalıdır.
- Olabildiğince az sayıda olmalıdır.
- Fazlalık içermemelidir.
- Birbirlerinden bağımsız olmalı, biri diğerinden elde edilmemelidir
- Doğurdukları sonuçlar birbirleriyle çelişmemelidir.
- Birbirini tamamlayıcı olmalı ve ele alınan sistemi tam olarak incelemeye yetmelidir
ağaç, yeşil, kuş, bulut, tabiat,... sizce belli anlamlarda kullanılan kavramlardır. Bu
sözcüklerden birini, örne¤in “ağaç” sözcüğünü ele alalım. “Ağaç nedir?” sorusuna
verilebilecek uygun yanıtlardan birisi “Yaprakları ve meyvesi olan bir bitki çeşididir.”
olabilir. Verilen bu yanıtta geçen kavramlarla ilgili olarak “Yaprak nedir?”, “Meyve
nedir?”, “Bitki nedir?” sorularına verilebilecek yanıtlar içinde de açıklanması gereken
yeni kavramlar bulunur. Bu şekilde kavramları açıklamaya devam edersek bir yere
gelir, açıklayamayacağımız bir kavramla karşılaşırız.
Anlamı en azından sezgisel olarak bilinen veya kabullenebilen kavramlar,
tanımlanmaya ihtiyaç duyulmadan alınır. İşte ilk dayanak olarak alınan böyle kavramlara
tanımsız kavramlar denir.
fiimdiye kadar geometrik kavramlardan açıları, çokgenleri, çemberi, uzayda cisimleri
ve bunlara ilişkin alan ve hacim bağıntılarını öğrendiniz. fiimdi bu kitapta bazı önerme
ve bağıntıların varlığı ile ilgili ispatlara da yer vereceğiz. Bu nedenle teorem, ispat ve
aksiyom kelimeleri ile sık sık karşılaşacağız.
Doğruluğu ispatlanan önermelere teorem denir.
p ve q birer önerme olmak üzere bir teorem sembolik olarak “p ⇒ q”
biçiminde ifade edilebilir. Burada p önermesine hipotez, q önermesine hüküm denir.
Bir teoremi ispatlarken, yani bir önermenin doğruluğunu gösterirken, önceki
teoremlerden yararlanacağız. Önceki teoremlerin ispatı da daha önceki teoremlere
dayanacağından tıpkı tanımsız kavramlarda olduğu gibi ilk önermeleri ispatsız olarak
kabul edeceğiz. Doğruluğu ilk baştan kabul edilen böyle önermelere aksiyom diyeceğiz.
Aksiyom, doğruluğu sezgisel olarak bilinen ve ispatsız olarak kabul edilmiş olan
temel gerçeklerdir.
Rastgele bir önerme aksiyom olarak alınamaz. Genel olarak aksiyomlar:
- Basit ve anlaşılır olmalıdır.
- Olabildiğince az sayıda olmalıdır.
- Fazlalık içermemelidir.
- Birbirlerinden bağımsız olmalı, biri diğerinden elde edilmemelidir
- Doğurdukları sonuçlar birbirleriyle çelişmemelidir.
- Birbirini tamamlayıcı olmalı ve ele alınan sistemi tam olarak incelemeye yetmelidir