-
- Katılım
- Kasım 5, 2010
-
- Mesajlar
- 11,182
-
- Çözümleri
- 2
-
- Tepkime puanı
- 5,026
-
- Puanları
- 354
Çağdaş mantığın ve çağdaş felsefenin kurucusu Alman mantıkçısı Gottlob Frege, "Matematik mantığın uygulama alanıdır." görüşünden hareketle matematiğin, mantığın aksiyomatik sistemi üzerine kurulabileceğini düşünmüştür. Bu düşünceden hareket ederek aritmetiğin temelleri konusundaki felsefi çalışmaları için bir mantık sistemi geliştirmişti.
Daha sonra, Frege'nin çalışmalarına dayanarak, Bertrand Russell ve Alfred North Whitehead 1910-1913 yılları arasında Principia Mathematica adını verdikleri eserde matematiği mantığa indirgeyerek formel bir sistem haline getirmeye çalıştılar. Fakat matematiğin formel hale getirilemeyeceğini Kurt Gödel 1933'te yayınladığı bir kitabındaki (Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme) meşhur teoremiyle gösterdi.
John Alan Robinson, 1967'de çözülüm teorem ispatlama yöntemini geliştirdi. Bu yöntem 1972'de A. Colmaurer tarafından ilk mantık programlama dilinin (Prolog) geliştirilmesine yol açtı. Bu dil 1975'te D. Warren tarafından “Warren Abstract Machine” (WAM) olarak ugulandı. Kişisel bilgisayarlar üzerinde ilk uygulamalar 1980'lerde ortaya çıktı.
Formel sistemler şu elemanlardan meydana gelir:
Tanımlanan terimlere örnek olarak bileşik önerme kavramını gösterilebilir. Aslında yukarıda verilen mantıksal bağlar bir tek mantıksal bağ yardımıyla tanımlanabilir.
Önerme
Aşağıdaki cümleler önermelere örnektir:
Bugün hava güneşlidir.
3 asal sayıdır.
Duygu 21 yaşındadır.
3 asal sayı değildir.
Duygu 21 yaşında değildir.
Bir gün 24 saattir. sıfır doğal sayıdır
Mantıksal bağlar kullanarak basit önermelerden başka önermeler kurulabilir, ki bunlara “bileşik önermeler” denir.Önerme matematikte kesin bir hüküm bildiren ifadelere denir.
Olumsuzu
Bir önerme “değil” eki ile karşıt ifadeye çevrilebilir; buna değilleme denir.
Bir hafta 7 gün'dür. Bir hafta 7 gün degildir. Olumsuz olacak harfin yanına (') işareti konur
Birleşim
İki veya daha fazla önermeden “ve,veya,ise mantıksal bağlarını kullanarak bileşik önermeler kurulabilir. Örnek olarak: “Bu gün hava açık ve sıcak” cümlesini verilebilir. Doğal dilde bazen “fakat” bağlacını da kullanıyoruz.
Örnek: “bugün gemiler 9'da veya 10.da sefer yapacak.”
“arkadaşlarım sınıftadır veya arkadaşlarım bahçededir.”
değili A' olarak gösterilir.
Ayrılım
İki veya daha fazla basit önermeden “veya” (ya da) mantıksal bağını kullanarak bilesik önermeler kurulabilir.
Örnek: “Bugün Arçelik veya Teletaş'tan ziyaretçiler gelecek.”
Şartlı cümle
Aynı şekilde, iki veya daha fazla sayıda önermeden (eğer-ise) bağını kullanarak şartlı önermeler kurulabilir.
Örnek: “Eğer yağmur yağıyor ise, hava bulutludur.”
Bazen “eğer-ise” bağı yerine doğal dilde “gerektirir” bağını da kullanabiliyoruz.
Örnek: “Yağmurun yağıyor olması havanın bulutlu olmasını gerektirir.”
Ancak ve ancak
Yine, “eğer ve ancak-ise” bağını kullanarak birden fazla önermeden çift şartlı önermeler kurulabilir. Bu tür önermeler doğal dilde daha az kullanılmasına rağmen, fizik ve matematikte sık sık kullanılmaktadır.
Örnek: “Eğer ve ancak çalışanlar ücretlerde aşırı artış talep ederlerse enflasyon düşmez.”
Aynı cümle şu şekilde de ifade edilebilir: “Eğer, çalışanlar ücretlerde aşırı artış talep ederlerse enflasyon düşmez, ve eğer enflasyon düşmezse çalışanlar ücretlerde aşırı artış talep ederler.”
Cebirde olduğu gibi, sembolik veya matematiksel mantıkta da, önermeler yerine önermesel değişkenler kullanılır (P, Q, R, S, T harfleri gibi).
Mantıksal bağlar
Mantıksal bağlar aşağıdaki sembollerle gösterilir:
: değil
: ve
: veya
: eğer-ise
: eğer ancak-ise
Böylece şu ifadeler, önerme formülleri olacaktır:
,
,
,
,
Örnek: "Eğer sendika veya fabrika yöneticileri inada devam ederlerse, grev ancak hükümet bir kararname çıkarır ve fabrikaya polis göndermezse önlenir."
P: Sendika inada devam eder
Q: Fabrika yöneticileri inada devam eder
R: Grev önlenir
S: Hükümet kararname çıkartır
T: Hükümet fabrikaya polis göndermez
=> ise bu şekildede gsterilir <=> ancak ve ancak bu şekildede gsterilir
Doğruluk cetvelleri [değiştir]
Mantıkta önermeler doğru ya da yanlış olabilir, fakat hem doğru hem yanlış olamaz. Bir önermeye yüklenen bu “doğru” ve “yanlış” yüklemlerine onun “doğruluk değeri” denir.
Buna göre, şimdi şu önermesel formüllerin doğruluk değerlerini irdeleyelim:
,
,
,
,
“Değil” sözcüğünün anlamından hareketle, eğer bir P önermesi doğru ise onun değillemesi, yani
yanlıştır, ve bunun tersi. Mesela, P önermesi “Ay dünyanın uydusudur” cümlesi yerine geçiyorsa, bunun değillemesi olan
yanlıştır.
Gene, kural olarak iki veya daha fazla önermenin birleşimi, ancak birleşen bütün önermelerin doğru olması halinde doğrudur. Mesela, “3 asal sayıdır ve 2+2=5'tir” yanlış bir bileşik önermedir.
Yine kural olarak, ayrık önermelerin doğru olabilmesi için bileşenlerden birinin doğru olması yeterlidir. Ayrık önermeler ancak bunları meydana getiren bileşenlerin hepsinin birden yanlış oldugu halde yanlış sayılır.
Bileşik önermeler için doğruluk tabloları şu şekilde verilebilir:
PQ
DDYDDDDDYYYDYYYDDYDDYYYDYYDDD: doğru, Y: yanlış
Eşdeğerlikler
Karşıtlıklar
TotolojiBir önermesel formülün (veya bileşik önermenin) doğruluk cetvelindeki son değerlendirme sütunundaki bütün değerler “doğru” çıkıyorsa, bu önermesel formüle “totoloji” denir.ÇelişkiBir önermesel formülün (veya bileşik önermenin) doğruluk cetvelindeki son değerlendirme sütunundaki bütün değerler “yanlış” çıkıyorsa bu önermesel formüle “çelişki” denir.Bazen doğrulukBir önermesel formülün (veya bileşik önermenin) doğruluk cetvelindeki son değerlendirme sütunundaki değerlerden bazıları “doğru” bazıları “yanlış” çıkıyorsa bu önermesel formüle “bazen doğru” denir.TutarlılıkBir bileşik önermeye “ve” ekiyle başka bir önerme eklendiği zaman bir çelişki ortaya çıkmıyorsa, eklenen önerme öncekiyle tutarlıdır denir.GeçerlilikBir A1, A2, ..., An önerme dizisindeki bütün A’lar doğru olduğu zaman bir B hükmü de doğru oluyorsa B’ye A1, A2, ..., An önermelerinin geçerli sonucudur denir. Geçerlilik şu şekilde gösterilir:A1, A2, ..., An |= B.Mantıksal İçerikBir bileşik önermeyi yanlış yapan şartların sayısının bütün şartların sayısına oranı ne kadar büyükse, o önermenin mantıksal içeriği o kadar fazladır. Çelişkinin mantıksal içeriğinden bahsedilemez (çünkü yoktur.).(-->bu durumda çelişki için mantıksal içerik 1/1 olması beklenir. buna göre ilk cümle ile bahsedilen tanım tersi olarak düşünülmesi gerekmektedir =>düzeltmedir, şayet hata yok ise siliniz?)
Daha sonra, Frege'nin çalışmalarına dayanarak, Bertrand Russell ve Alfred North Whitehead 1910-1913 yılları arasında Principia Mathematica adını verdikleri eserde matematiği mantığa indirgeyerek formel bir sistem haline getirmeye çalıştılar. Fakat matematiğin formel hale getirilemeyeceğini Kurt Gödel 1933'te yayınladığı bir kitabındaki (Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme) meşhur teoremiyle gösterdi.
John Alan Robinson, 1967'de çözülüm teorem ispatlama yöntemini geliştirdi. Bu yöntem 1972'de A. Colmaurer tarafından ilk mantık programlama dilinin (Prolog) geliştirilmesine yol açtı. Bu dil 1975'te D. Warren tarafından “Warren Abstract Machine” (WAM) olarak ugulandı. Kişisel bilgisayarlar üzerinde ilk uygulamalar 1980'lerde ortaya çıktı.
Formel sistemler şu elemanlardan meydana gelir:
- Tanımlanmamış terimler
- Tanımlar
- Türetme kuralları
- Aksiyomlardır
- Teoremler
Tanımlanan terimlere örnek olarak bileşik önerme kavramını gösterilebilir. Aslında yukarıda verilen mantıksal bağlar bir tek mantıksal bağ yardımıyla tanımlanabilir.
Önerme
Aşağıdaki cümleler önermelere örnektir:
Bugün hava güneşlidir.
3 asal sayıdır.
Duygu 21 yaşındadır.
3 asal sayı değildir.
Duygu 21 yaşında değildir.
Bir gün 24 saattir. sıfır doğal sayıdır
Mantıksal bağlar kullanarak basit önermelerden başka önermeler kurulabilir, ki bunlara “bileşik önermeler” denir.Önerme matematikte kesin bir hüküm bildiren ifadelere denir.
Olumsuzu
Bir önerme “değil” eki ile karşıt ifadeye çevrilebilir; buna değilleme denir.
Bir hafta 7 gün'dür. Bir hafta 7 gün degildir. Olumsuz olacak harfin yanına (') işareti konur
Birleşim
İki veya daha fazla önermeden “ve,veya,ise mantıksal bağlarını kullanarak bileşik önermeler kurulabilir. Örnek olarak: “Bu gün hava açık ve sıcak” cümlesini verilebilir. Doğal dilde bazen “fakat” bağlacını da kullanıyoruz.
Örnek: “bugün gemiler 9'da veya 10.da sefer yapacak.”
“arkadaşlarım sınıftadır veya arkadaşlarım bahçededir.”
değili A' olarak gösterilir.
Ayrılım
İki veya daha fazla basit önermeden “veya” (ya da) mantıksal bağını kullanarak bilesik önermeler kurulabilir.
Örnek: “Bugün Arçelik veya Teletaş'tan ziyaretçiler gelecek.”
Şartlı cümle
Aynı şekilde, iki veya daha fazla sayıda önermeden (eğer-ise) bağını kullanarak şartlı önermeler kurulabilir.
Örnek: “Eğer yağmur yağıyor ise, hava bulutludur.”
Bazen “eğer-ise” bağı yerine doğal dilde “gerektirir” bağını da kullanabiliyoruz.
Örnek: “Yağmurun yağıyor olması havanın bulutlu olmasını gerektirir.”
Ancak ve ancak
Yine, “eğer ve ancak-ise” bağını kullanarak birden fazla önermeden çift şartlı önermeler kurulabilir. Bu tür önermeler doğal dilde daha az kullanılmasına rağmen, fizik ve matematikte sık sık kullanılmaktadır.
Örnek: “Eğer ve ancak çalışanlar ücretlerde aşırı artış talep ederlerse enflasyon düşmez.”
Aynı cümle şu şekilde de ifade edilebilir: “Eğer, çalışanlar ücretlerde aşırı artış talep ederlerse enflasyon düşmez, ve eğer enflasyon düşmezse çalışanlar ücretlerde aşırı artış talep ederler.”
Cebirde olduğu gibi, sembolik veya matematiksel mantıkta da, önermeler yerine önermesel değişkenler kullanılır (P, Q, R, S, T harfleri gibi).
Mantıksal bağlar
Mantıksal bağlar aşağıdaki sembollerle gösterilir:
Böylece şu ifadeler, önerme formülleri olacaktır:
Örnek: "Eğer sendika veya fabrika yöneticileri inada devam ederlerse, grev ancak hükümet bir kararname çıkarır ve fabrikaya polis göndermezse önlenir."
P: Sendika inada devam eder
Q: Fabrika yöneticileri inada devam eder
R: Grev önlenir
S: Hükümet kararname çıkartır
T: Hükümet fabrikaya polis göndermez
=> ise bu şekildede gsterilir <=> ancak ve ancak bu şekildede gsterilir
Doğruluk cetvelleri [değiştir]
Mantıkta önermeler doğru ya da yanlış olabilir, fakat hem doğru hem yanlış olamaz. Bir önermeye yüklenen bu “doğru” ve “yanlış” yüklemlerine onun “doğruluk değeri” denir.
Buna göre, şimdi şu önermesel formüllerin doğruluk değerlerini irdeleyelim:
“Değil” sözcüğünün anlamından hareketle, eğer bir P önermesi doğru ise onun değillemesi, yani
Gene, kural olarak iki veya daha fazla önermenin birleşimi, ancak birleşen bütün önermelerin doğru olması halinde doğrudur. Mesela, “3 asal sayıdır ve 2+2=5'tir” yanlış bir bileşik önermedir.
Yine kural olarak, ayrık önermelerin doğru olabilmesi için bileşenlerden birinin doğru olması yeterlidir. Ayrık önermeler ancak bunları meydana getiren bileşenlerin hepsinin birden yanlış oldugu halde yanlış sayılır.
Bileşik önermeler için doğruluk tabloları şu şekilde verilebilir:
PQ
Eşdeğerlikler
Karşıtlıklar
TotolojiBir önermesel formülün (veya bileşik önermenin) doğruluk cetvelindeki son değerlendirme sütunundaki bütün değerler “doğru” çıkıyorsa, bu önermesel formüle “totoloji” denir.ÇelişkiBir önermesel formülün (veya bileşik önermenin) doğruluk cetvelindeki son değerlendirme sütunundaki bütün değerler “yanlış” çıkıyorsa bu önermesel formüle “çelişki” denir.Bazen doğrulukBir önermesel formülün (veya bileşik önermenin) doğruluk cetvelindeki son değerlendirme sütunundaki değerlerden bazıları “doğru” bazıları “yanlış” çıkıyorsa bu önermesel formüle “bazen doğru” denir.TutarlılıkBir bileşik önermeye “ve” ekiyle başka bir önerme eklendiği zaman bir çelişki ortaya çıkmıyorsa, eklenen önerme öncekiyle tutarlıdır denir.GeçerlilikBir A1, A2, ..., An önerme dizisindeki bütün A’lar doğru olduğu zaman bir B hükmü de doğru oluyorsa B’ye A1, A2, ..., An önermelerinin geçerli sonucudur denir. Geçerlilik şu şekilde gösterilir:A1, A2, ..., An |= B.Mantıksal İçerikBir bileşik önermeyi yanlış yapan şartların sayısının bütün şartların sayısına oranı ne kadar büyükse, o önermenin mantıksal içeriği o kadar fazladır. Çelişkinin mantıksal içeriğinden bahsedilemez (çünkü yoktur.).(-->bu durumda çelişki için mantıksal içerik 1/1 olması beklenir. buna göre ilk cümle ile bahsedilen tanım tersi olarak düşünülmesi gerekmektedir =>düzeltmedir, şayet hata yok ise siliniz?)