KARMAŞIK SAYILAR
I. KARMAŞIK SAYILAR KÜMESİ
Tanım
sayısına sanal sayı (imajiner sayı) birimi denir. ve
ile gösterilir. Uyarı
a, b pozitif gerçel sayı ve
x, y negatif gerçel sayı olmak üzere,
A. i NİN KUVVETLERİ
olmak üzere,
i0 = 1 dir.
i1 = i dir.
i2 = –1 dir.
i3 = i2 × i1 = (–1) × i = –i dir.
i4 = i2 × i2 = (–1) × (–1) = 1 dir.
i5 = i4 × i1 = 1 × i = i dir.
Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, –1, –i değerlerinden birine eşit olmaktadır.
Sonuç
Sanal sayı biriminin (i nin) kuvveti x olsun. x tam sayısı 4 ile bölündüğünde,
kalan 0 ise, ix ifadesinin eşiti 1,
kalan 1 ise, ix ifadesinin eşiti i,
kalan 2 ise, ix ifadesinin eşiti –1,
kalan 3 ise, ix ifadesinin eşiti –i dir.
Buna göre, n tam sayı olmak üzere,
i4n= 1,
i4n+1 = i,
i4n+2 = –1,
i4n+3 = –i dir. Tanım
a ve b birer reel (gerçel) sayı ve
olmak üzere,
z = a + bi şeklinde ifade edilen z sayısına karmaşık (kompleks) sayı denir.
Karmaşık sayılar kümesi
ile gösterilir. Buna göre,
z = a + bi karmaşık sayısında;
a ya karmaşık sayının reel (gerçel) kısmı,
b ye karmaşık sayının imajiner (sanal) kısmı denir.
z = a + bi ise
Re(z) = a
İm(z) = b
şeklinde gösterilir. Uyarı
Her reel (gerçel) sayı imajiner kısmı 0 (sıfır) olan bir karmaşık sayıdır.
Buna göre, karmaşık sayılar kümesi reel sayılar kümesini kapsar. Yani,
dir. B. İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ
Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı birbirine eşittir.
Kural
C. KARMAŞIK SAYILARIN ANALİTİK DÜZLEMDE BELİRTİLMESİ
Reel kısmı a, imajiner kısmı b olan karmaşık sayının; z = a + ib şeklindeki gösterimine karmaşık sayının standart (cebirsel) biçimi,
Z(a, b) biçimindeki gösterimine kartezyen koordinatlarıyla gösterilmiş biçimi denir.
Ox eksenine reel eksen, Oy eksenine de sanal (imajiner) eksen diyerek karmaşık sayıları gösterebileceğimiz karmaşık düzlemi elde ederiz.
Karmaşık sayılarla karmaşık düzlemin noktaları bire bir eşlenebilir.
z = a + bi karmaşık sayısının düzlemdeki görüntüsü (a, b) noktasıdır.
D. KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ
ve i2 = –1 olmak üzere,
a + bi ve a + (–b)i karmaşık sayılarından birine diğerinin eşleniği denir.
z karmaşık sayısının eşleniği
ile gösterilir.
Buna göre,
Kural
Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisidir.
Buna göre,
Kural
Reel kat sayılı, ax2 + bx + c = 0 ikinci dereceden denkleminin köklerinden biri m + nikarmaşık sayısı ise diğeri m – ni sayısıdır. E. KARMAŞIK SAYILARIN MUTLAK DEĞERİ (MODÜLÜ)
Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık gelen noktanın başlangıç noktasına (orijine) olan uzaklığına bu sayının mutlak değeri veya modülü denir.
z karmaşık sayısının mutlak değeri |z| ile gösterilir.
Yandaki dik üçgende Pisagor teoreminden de,
dir. F. KARMAŞIK SAYILARDA İŞLEMLER
1. Toplama İşlemi
Karmaşık sayılar toplanırken, reel kısımlar kendi aralarında ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır. Buna göre,
i2 = –1 olmak üzere,
karmaşık sayıları verilmiş olsun. Bu durumda,
2. Çıkarma İşlemi
z + (–w) = z – w
olduğuna göre, z sayısını w sayısının toplama işlemine göre tersi ile toplamak, z sayısından w sayısını çıkarmak demektir. Buna göre,
z ile w nin farkı, reel kısımların birbiri ile sanal kısımların birbiri ile farkına eşittir. Reel kısımların farkı, sonucun reel kısmını; sanal kısımların farkı, sonucun sanal kısmını verir. Buna göre,
i2 = –1 olmak üzere,
karmaşık sayıları verilmiş olsun. Bu durumda
3. Çarpma İşlemi
Karmaşık sayılarda çarpma işlemi, i2 = –1 olduğu göz önüne alınarak, reel sayılardakine benzer şekilde yapılır.
z = a + bi ve w = c + di olsun. Buna göre,
Sonuç
i2 = –1 ve z = a + bi olmak üzere,
Kural
i2 = –1 ve n tam sayı olmak üzere,
4. Bölme İşlemi
z1 × (z2)–1 sayısına z1 in z2 ye bölümü denir ve
biçiminde gösterilir.
Karmaşık sayılarda bölme işlemi, pay ile paydanın, paydanın eşleniği ile genişletilmesiyle yapılır. Yani,
z1 = a + bi ve z2 = c + di ise,
5. Eşlenik ve Mutlak Değerle İlgili Bazı Özellikler
z1 ve z2 birer karmaşık sayı olmak üzere,
Click this bar to view the full image.
G. KARMAŞIK DÜZLEMDE İKİ NOKTA ARASINDAKİ UZAKLIK
z = a + bi ve w = c + di olsun.
|z – w|
ifadesinin değeri z ile w sayısı arasındaki uzaklığa eşittir.
z sayısına karşılık gelen nokta A, w sayısına karşılık gelen nokta B olsun. Buna göre,
Kural
z, değişen değerler alan bir karmaşık sayı; w sabit bir karmaşık sayı ve r, pozitif reel sayı olmak koşuluyla
|z – w| = r
eşitliğini gerçekleyen z noktalarının kümesi, karmaşık düzlemde, merkezi w ye karşılık gelen nokta ve yarıçapı r olan bir çember belirtir.
|z – w| < r
eşitsizliğini gerçekleyen z noktalarının kümesi, karmaşık düzlemde, merkezi w ye karşılık gelen nokta ve yarıçapı r olan çemberin iç bölgesini belirtir. II. KARMAŞIK SAYILARIN KUTUPSAL (TRİGONOMETRİK) GÖSTERİMİ
i2 = –1 olmak üzere, z = a + bi olsun.
z nin karmaşık düzlemdeki görüntüsü M(a, b) noktasıdır. z karmaşık sayısını orijine birleştiren doğrunun reel eksenle (Ox ekseniyle) pozitif yönde yaptığı açıya, z karmaşık sayısının argümenti denir ve
arg(z) ile gösterilir.
olsun. Bu durumda,
şeklinde gösterilir.
Açının esas ölçüsü olan değere de
esas argüment denir. Bu durumda esas argüment; negatif olmayan ve 360° den (
radyandan) küçük bir değerdir.
Yukarıdaki şekilde, OHM dik üçgeninden,
yazılır. Buradan,
Sonuç
i2 = –1 olmak üzere, z = a + bi olsun. z nin, mutlak değeri (orijine uzaklığı) |z| = r ve esas argümenti q olmak üzere,
z = |z| × (cosq + isinq)
biçiminde yazılmasına, z karmaşık sayının kutupsal (trigonometrik) gösterimi denir.
z = |z| × (cosq + isinq) ifadesi z = r × cisq biçiminde kısaca gösterilebilir. Tanım
i2 = –1 olmak üzere, z = a + bi olsun.
Karmaşık sayının mutlak değeri ile argümentinden oluşan sıralı ikiliye bu sayının kutupsal koordinatları denir. z nin kutupsal koordinatları (|z|, q) veya (r, q) biçiminde gösterilir. Kural
olmak üzere,
Buna göre, karmaşık sayıların çarpımının argümenti, bu sayıların argümentleri toplamına eşittir. Bu durumda,
Kural
olmak üzere,
Buna göre, iki karmaşık sayının bölümünün argümenti, bu sayıların argümentleri farkına eşittir. Bu durumda,
Kural
Sonuç
Sonuç
Buna göre, bir karmaşık sayının esas argümentinin ölçüsü radyan türünden a ise, bu karmaşık sayının eşleniğinin esas argümenti 2p – a dır. Kural
z0 = a + bi karmaşık sayısının karmaşık düzlemdeki görüntüsü M(a, b) noktası olsun.
arg(z – z0) = q
koşulunu sağlayan z karmaşık sayılarının görüntüsü MP yarı doğrusudur.
A. ORİJİN ETRAFINDA DÖNDÜRME
z = r × cisq karmaşık sayısının orijin etrafında pozitif yönde a kadar döndürülmesiyle elde edilen karmaşık sayı, v = r × cis(q + a) olur. Bu durum,
v = z × (cosa + isina)
biçiminde de ifade edilebilir.
Uyarı
Bir karmaşık sayıyı negatif yönde q derece kadar döndürmek, o sayıyı pozitif yönde 360° – q kadar döndürmektir. B. BİR KARMAŞIK SAYININ KÖKLERİ
olmak üzere,
zn = u denklemini sağlayan z sayısına u sayısının n inci kuvvetten kökü denir.
Sonuç
z2 = w eşitliğini sağlayan z sayıları birbirinin toplama işlemine göre tersidir.
Yani, z2 = w eşitliğini sağlayan z sayıları z1 ile z2 ise,
z1 = –z2 dir. Kural
zn = w denkleminin kökleri aşağıdaki eşitliği sağlayan zk sayısında k yerine, 0, 1, 2, … , (n – 1) yazılarak bulunur.
I. KARMAŞIK SAYILAR KÜMESİ
Tanım
a, b pozitif gerçel sayı ve
x, y negatif gerçel sayı olmak üzere,
olmak üzere,
i0 = 1 dir.
i1 = i dir.
i2 = –1 dir.
i3 = i2 × i1 = (–1) × i = –i dir.
i4 = i2 × i2 = (–1) × (–1) = 1 dir.
i5 = i4 × i1 = 1 × i = i dir.
Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, –1, –i değerlerinden birine eşit olmaktadır.
Sonuç
Sanal sayı biriminin (i nin) kuvveti x olsun. x tam sayısı 4 ile bölündüğünde,
kalan 0 ise, ix ifadesinin eşiti 1,
kalan 1 ise, ix ifadesinin eşiti i,
kalan 2 ise, ix ifadesinin eşiti –1,
kalan 3 ise, ix ifadesinin eşiti –i dir.
Buna göre, n tam sayı olmak üzere,
i4n= 1,
i4n+1 = i,
i4n+2 = –1,
i4n+3 = –i dir. Tanım
a ve b birer reel (gerçel) sayı ve
z = a + bi şeklinde ifade edilen z sayısına karmaşık (kompleks) sayı denir.
Karmaşık sayılar kümesi
z = a + bi karmaşık sayısında;
a ya karmaşık sayının reel (gerçel) kısmı,
b ye karmaşık sayının imajiner (sanal) kısmı denir.
z = a + bi ise
Re(z) = a
İm(z) = b
şeklinde gösterilir. Uyarı
Her reel (gerçel) sayı imajiner kısmı 0 (sıfır) olan bir karmaşık sayıdır.
Buna göre, karmaşık sayılar kümesi reel sayılar kümesini kapsar. Yani,
Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı birbirine eşittir.
Kural
Reel kısmı a, imajiner kısmı b olan karmaşık sayının; z = a + ib şeklindeki gösterimine karmaşık sayının standart (cebirsel) biçimi,
Z(a, b) biçimindeki gösterimine kartezyen koordinatlarıyla gösterilmiş biçimi denir.
Ox eksenine reel eksen, Oy eksenine de sanal (imajiner) eksen diyerek karmaşık sayıları gösterebileceğimiz karmaşık düzlemi elde ederiz.
Karmaşık sayılarla karmaşık düzlemin noktaları bire bir eşlenebilir.
z = a + bi karmaşık sayısının düzlemdeki görüntüsü (a, b) noktasıdır.
D. KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ
a + bi ve a + (–b)i karmaşık sayılarından birine diğerinin eşleniği denir.
z karmaşık sayısının eşleniği
Buna göre,
Kural
Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisidir.
Buna göre,
Reel kat sayılı, ax2 + bx + c = 0 ikinci dereceden denkleminin köklerinden biri m + nikarmaşık sayısı ise diğeri m – ni sayısıdır. E. KARMAŞIK SAYILARIN MUTLAK DEĞERİ (MODÜLÜ)
Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık gelen noktanın başlangıç noktasına (orijine) olan uzaklığına bu sayının mutlak değeri veya modülü denir.
z karmaşık sayısının mutlak değeri |z| ile gösterilir.
dir. F. KARMAŞIK SAYILARDA İŞLEMLER
1. Toplama İşlemi
Karmaşık sayılar toplanırken, reel kısımlar kendi aralarında ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır. Buna göre,
i2 = –1 olmak üzere,
karmaşık sayıları verilmiş olsun. Bu durumda,
2. Çıkarma İşlemi
z + (–w) = z – w
olduğuna göre, z sayısını w sayısının toplama işlemine göre tersi ile toplamak, z sayısından w sayısını çıkarmak demektir. Buna göre,
z ile w nin farkı, reel kısımların birbiri ile sanal kısımların birbiri ile farkına eşittir. Reel kısımların farkı, sonucun reel kısmını; sanal kısımların farkı, sonucun sanal kısmını verir. Buna göre,
i2 = –1 olmak üzere,
karmaşık sayıları verilmiş olsun. Bu durumda
3. Çarpma İşlemi
Karmaşık sayılarda çarpma işlemi, i2 = –1 olduğu göz önüne alınarak, reel sayılardakine benzer şekilde yapılır.
z = a + bi ve w = c + di olsun. Buna göre,
Sonuç
i2 = –1 ve z = a + bi olmak üzere,
i2 = –1 ve n tam sayı olmak üzere,
z1 × (z2)–1 sayısına z1 in z2 ye bölümü denir ve
Karmaşık sayılarda bölme işlemi, pay ile paydanın, paydanın eşleniği ile genişletilmesiyle yapılır. Yani,
z1 = a + bi ve z2 = c + di ise,
5. Eşlenik ve Mutlak Değerle İlgili Bazı Özellikler
z1 ve z2 birer karmaşık sayı olmak üzere,
G. KARMAŞIK DÜZLEMDE İKİ NOKTA ARASINDAKİ UZAKLIK
z = a + bi ve w = c + di olsun.
|z – w|
ifadesinin değeri z ile w sayısı arasındaki uzaklığa eşittir.
z sayısına karşılık gelen nokta A, w sayısına karşılık gelen nokta B olsun. Buna göre,
Kural
z, değişen değerler alan bir karmaşık sayı; w sabit bir karmaşık sayı ve r, pozitif reel sayı olmak koşuluyla
|z – w| = r
eşitliğini gerçekleyen z noktalarının kümesi, karmaşık düzlemde, merkezi w ye karşılık gelen nokta ve yarıçapı r olan bir çember belirtir.
|z – w| < r
eşitsizliğini gerçekleyen z noktalarının kümesi, karmaşık düzlemde, merkezi w ye karşılık gelen nokta ve yarıçapı r olan çemberin iç bölgesini belirtir. II. KARMAŞIK SAYILARIN KUTUPSAL (TRİGONOMETRİK) GÖSTERİMİ
i2 = –1 olmak üzere, z = a + bi olsun.
z nin karmaşık düzlemdeki görüntüsü M(a, b) noktasıdır. z karmaşık sayısını orijine birleştiren doğrunun reel eksenle (Ox ekseniyle) pozitif yönde yaptığı açıya, z karmaşık sayısının argümenti denir ve
arg(z) ile gösterilir.
Açının esas ölçüsü olan değere de
Yukarıdaki şekilde, OHM dik üçgeninden,
yazılır. Buradan,
Sonuç
i2 = –1 olmak üzere, z = a + bi olsun. z nin, mutlak değeri (orijine uzaklığı) |z| = r ve esas argümenti q olmak üzere,
z = |z| × (cosq + isinq)
biçiminde yazılmasına, z karmaşık sayının kutupsal (trigonometrik) gösterimi denir.
z = |z| × (cosq + isinq) ifadesi z = r × cisq biçiminde kısaca gösterilebilir. Tanım
i2 = –1 olmak üzere, z = a + bi olsun.
Karmaşık sayının mutlak değeri ile argümentinden oluşan sıralı ikiliye bu sayının kutupsal koordinatları denir. z nin kutupsal koordinatları (|z|, q) veya (r, q) biçiminde gösterilir. Kural
olmak üzere,
Buna göre, karmaşık sayıların çarpımının argümenti, bu sayıların argümentleri toplamına eşittir. Bu durumda,
olmak üzere,
Buna göre, iki karmaşık sayının bölümünün argümenti, bu sayıların argümentleri farkına eşittir. Bu durumda,
Buna göre, bir karmaşık sayının esas argümentinin ölçüsü radyan türünden a ise, bu karmaşık sayının eşleniğinin esas argümenti 2p – a dır. Kural
z0 = a + bi karmaşık sayısının karmaşık düzlemdeki görüntüsü M(a, b) noktası olsun.
arg(z – z0) = q
koşulunu sağlayan z karmaşık sayılarının görüntüsü MP yarı doğrusudur.
z = r × cisq karmaşık sayısının orijin etrafında pozitif yönde a kadar döndürülmesiyle elde edilen karmaşık sayı, v = r × cis(q + a) olur. Bu durum,
v = z × (cosa + isina)
biçiminde de ifade edilebilir.
Uyarı
Bir karmaşık sayıyı negatif yönde q derece kadar döndürmek, o sayıyı pozitif yönde 360° – q kadar döndürmektir. B. BİR KARMAŞIK SAYININ KÖKLERİ
zn = u denklemini sağlayan z sayısına u sayısının n inci kuvvetten kökü denir.
Sonuç
z2 = w eşitliğini sağlayan z sayıları birbirinin toplama işlemine göre tersidir.
Yani, z2 = w eşitliğini sağlayan z sayıları z1 ile z2 ise,
z1 = –z2 dir. Kural
zn = w denkleminin kökleri aşağıdaki eşitliği sağlayan zk sayısında k yerine, 0, 1, 2, … , (n – 1) yazılarak bulunur.