S
She`
Ziyaretçi
Ziyaretçi
İlk geometrilerin tümü
kendi doğası nedeniyle sezgiseldir. Bunlar daha çok ilk insanların çevresinde görünen doğal şekillerdir. Bu geometriler daha çok görsel tür­dedir. İkinci olarak şekillerin ölçülmesi aşaması gelir. Dörtgenlerin ve üçgenlerin ölçül­mesi ilk kez Mısır’da Ahmes’in (İ. Ö. 1550) papirüsünde görülür. Bu papirüs İ. Ö. 1580 talihinden önce yazılmıştır
b tabanlı ve h yükseklikli ikiz kenar üçgenin alanının bh/2 olduğu verilmiştir. Yine aynı papirüste d çaplı bir dairenin alanının (d-d/9)2 yazımına eşdeğer olduğu yazılmıştır. Bu yazımlara göre pi sayısı yaklaşık olarak 3.1605 dolay­larındadır. Bu formül geometrik şekilden yaklaşık olarak elde edilmiştir. Bu formül Babillilerde de aynıdır. Bu söylediğimizi kanıtlayan tabletler vardır. Çin’in yerli geometrisi de bu türdedir. İ. Ö. 1100 yıllarında yazıldığı sanılan Çinlilerin ünlü Nine Sections (Do­kuz Bölüm) kitabında dik açılı üçgen ve ispatsız olarak Pisagor teoremi vardır. Daha sonraki Çin geometrilerinde ölçümleri içeren çok zeki buluşlar vardır. Yine geometrik görünümle Pisagor teoreminin ispatı yapılmıştır. Bu geometrik şekille verilen kitabın İ. Ö. 2000 yıllarında yazıldığı sanılıyor.
Hintlilerin yerli geometrilerinde de matematiksel bir ispat yoktur. Daha çok görsel ve deneysel ölçülere dayanan kuralları vardır. Bunlar da o kadar ileri bir geometri oluş­turmaz. Bin yıllık bir süre boyunca kullanılan Yunan geometrisi ise daha çok görseldir. Eski Roma geometrisi daha çok kullanım alanlarına yöneliktir.
Arazi ölçümleri
şehir yerleşimleri
su kanalları ve savaş sanatında geometriyi Romalılar iyi kullanmışlardır. Fakat bunlar görsel geometriyi fazla kullanmamışlardır. Zaten görsel geometrinin kökeni Yunanistan’da başlamıştır. Bu çalışmalar ilk kez Tha-lesin (İ. Ö. 600) yapıtlarında görülür. Thales bu teoremleri Mezopotamya’da ve Mısır’da kullandıklarını görür. Altı teoremle önderlik eder ve bu teoremlerin ispatlarını yapar. Matematikte ispat yapma Thales’le başlamıştır. Thales’in bu ispatları zamanla kaybol­muş arma
ondan sonra bunları öğrenenler gelecek kuşaklara aktarmıştır. Bin yıl süren bu görsel Yunan geometrisi zamanla gerilemiş ve yeni bir çalışma getirilmemiştir.
Batı Avrupa’nın uyanmasından önceki yüzyıla kadar Yunan kültürünü ve geomet­risini tam olarak müslümanlar anlamıştır. Yunan klasiklerini
geometrilerini
fen bilimlerini ve felsefelerini Arapça’ya çevirmişlerdir. Fakat ne Euclit’in ne de Apollonius’un çalış­malarına gerçek ve gözle görünür bir katkı ve ekler yapmamışlardır. Okullaşma olma­dığı için gelecek gençlere bu çeviriler öğretilmemiş
bu kitaplar sadece neredeyse bir süs olarak sarayda kalmıştır. Yaptıkları hizmet
kaybolmaya yüz tutmuş Yunan klasik-ni
matematiklerini ve düşüncelerini Arapça çevirileriyle Avrupa’ya iletmişlerdir. As­lında bu da bir hizmet sayılır.
Avrupa’daki karanlık çağda biri Boethius’un (510) diğeri de Euclit’in (L Ö. 300) Sements isimli kitabı vardı. Bunlardan sonra Gerbert’in (1000) ve Fibonacci’nin (1202) geometrileri sayılabilir
Ama bu geometriler İskenderiye geometrilerinden ileri bir dü­zeyde değildi. Avrupa’nın geometrisine yine 1482 yılında ilk baskısı yapılan Euclit geometrisi oldu. Zaten çok iyi düzenlenmiş ve yazılmış olan bu geometriler Avrupa’ya hızla yayıldı ve her tarafında bilinir oldu. Euclit’in geometrisinin ardından yavaş yavaş geometri ürünleri ortaya çıkmaya başladı
On yedinci yüzyılın başlarında analitik geo­metri ve 1639 yılında da Desargues’ın (1593-1662) izdüşüm geometrisi basıldı. Ana­litik geometri Descartes (1596 -1650) ve Fermat (1601 -1665) tarafından aynı dönem­lerde yapıldı. Fermat yaptığı çalışmaları yayınlamadığı için analitik geometrinin bulun­ması onuru Descartes’e verildi. Analitik geometri kısaca geometri İle cebir arasındaki ilişkidir diye söyleyebiliriz. Geometri ile cebir arasındaki ilişkiyi ilk kez Descartes çıkar­dığı için büyük bir matematikçi olmuştur. Desargues’ın izdüşüm geometrisi matema­tikçilerin çok dikkatini çekmiş ve on dokuzuncu yüzyılda çıkacak olan geometricilere coşku ve esin kaynağı olmuştur.
Analitik geometri bulunduktan sonra Apollonius’un (İ. Ö. 262-190) konikleri sen­tetik ve analitik olarak yeniden incelenmiştir. Sadece konikler değil
eski Yunan geo­metrisi yeniden analitik olarak gözden geçirilmiştir. Sentetik geometrinin tüm problemleri bir kezde analitik olarak kanıtlanmıştır.
Geometri
arazi ölçümü sözcüklerinden türetilmiştir. Herodot (i. Ö. 450)
geometrinin başlangıç yerinin Mısır olduğunu kabul eder. Bu nedenle geometri sözcüğü Mısır kö­kenlidir. Kullanımı da Eflatun
Aristo ve Thales’e kadar gider. Yalnız Euclit geometri sözcüğünü kullanmamıştır. O bu sözcük yerine Elements sözcüğünü yeğlemiştir. Ele ments sözcüğünün Yunanca karşıtı stoicheia sözcüğüdür.
Euclit geometrisinin temeli nokta iie başlar. Pisagorcular noktayı küçük bir zerre olarak tanımlamışlardır. Bu tanım aslında Aristo’dan (İ. Ö. 340) alınmıştır. Eflatun (i. ö. 380)
noktayı bir doğrunun başlangıcı olarak tanımlamıştır. Bu kez doğru nedir sorusu karşımıza çıkmaktadır. Altıncı yüzyılda yaşayan Simplicus
uzunluğun başlangıcı ve buradan doğru uzar. Ayrıca bölünemez diye noktayı tanımlamıştır. Hiçbir parçası ol­mayan ize nokta denir tanımını Euclit (İ.Ö. 300) yapmıştır. Heron (50) da aynı sözcü­ğü kullanmış
noktayı boyutsuz bir limit veya doğrunun bir limitidir şeklinde söylemiştir. Capella (460)
hiçbir parçası olmayan şeye nokta denir demiştir. Modern yazarlar nok­tayı sanki tanımlı bir limit kavramıdır diye almışlardır. Dönemimizde de
nokta kabul edilen bir kavramdır. Noktayı kabul ettikten sonra işler kolaylaşır.
Eflatuncular
ensiz uzunluğa doğru demişlerdir. Aynı tanımı Euclit de almıştır. Yani noktanın hareketinden doğru elde edilir. Doğrunun hareketiyle yüzey ve yüzeyin hareket ile de hacim oluşturulur. Bundan sonra doğru
yarı doğru
doğru parçası
yü­zey
düzlemsel yüzey
açı
çember
daire
çap
yarıçap
paralel doğrular ve dik doğrular gibi bir dizi geometrik tanımlar getirilmiştir.
İspatlanamayan gerçeklere aksiyom ismi verilir. Açıkça görülen fakat ispatlana-mayan gerçeklere de postülat denir. Euciit’in geometrisi tanım
aksiyom ve postülatlar üzerine kurulmuştur. Zaten matematik aksiyomatik bir düşüncedir. Belli şeyleri kabul ederseniz: onun üzerine matematiği kurarsınız.
Şimdi
Euclit’in beş aksiyomunu yazalım;
1. Aynı şeye eşit olan şeyler eşittir
2. Eşit şeylere eşit çokluklar eklenirse sonuç yine eşittir
3. Eşit şeylerden eşit çokluklar çıkarılırsa sonuç yine eşittir
4. Birbirleriyle çakışan şeyler birbirine eşittir
5. Bütün
parçalarından büyüktür.
Şimdi de postülatlara bazı örnekler verelim.
1. iki noktadan bir doğru geçer
2. iki nokta arasındaki sürekli doğru sonludur
3. Bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri bir çemberdir
4. Tüm dik açılar birbirine eşittir
5. İki doğru bir doğru ile kesildiğinde kesenin bir tarafında oluşan iki iç açının toplamı 180 dereceden küçükse
bu iki doğru bu 180 dereceden küçük açıların bulun­duğu tarafta kesişirler.
Bu postülatlar daha sonraki Yunanlı bilginler tarafından çok İncelendi ve geliştirildi. Sidonlu Zeno (İ. Ö. I. yüzyıl) farklı iki doğrunun ortak bir doğru parçası yoktur. Dördüncü ve beşinci postulatların birer teorem olduğu yine ileri sürülmüştür. Proclus (460) dör­düncü postulatı bir teorem olarak almış
ispatlamaya çalışmış fakat başaramamıştır. Bu postülatın tersinin doğru olmasının gerekmediğini de ileri sürmüş ve bunu ispatla­mıştır. Saccheri (1773) bu postülatı farklı bir yolla ispatlamıştır.
Matematikte en çok tartışılan ve önemli olan beşinci postülattır. Bu postülat daha çok paralellik postülatı olarak bilinir. Yani
bir doğruya dışındaki bir noktadan bu doğruya yalnız bir tek paralel çizilir ifadesi beşinci postülata eşdeğerdir. Bu nedenle beşinci postülat daha çok bu ifadeyle tanınır. Tarih boyunca bu postülatı ispatlamak için giri­şimlerde bulunulmuştur. Bunlardan önemli girişimler Ptolemy (85 - 165)
Nasirettin elTusi (1200)
VVallis (1660)
Saccheri (1733)
Lambert (1766)
Legendre (1794) ve diğerleri tarafından yapılmıştır.
Proclus’un postulatına bir alternatif Playfair (1795) getirilmiştir. Playfair’in dünyaya tanıttığı postulat da şöyledir. Bir doğruya dışındaki bir noktadan yalnız bir tek paralel çizilir. Ya da kesişen iki doğru bir doğruya ve aynı doğruya paralel olamazlar. Aslında Playfair’in postulatı pratik olarak 1795 tarihinden önce biliniyordu. Çünkü
bu postülatı Joseph Fenn
Euclit’in Elemenfs isimli kitabını 1769 yılında Dublin’de yayınladığında »azmıştı. O da
iki paralel doğrudan birini kesen doğru diğerini de keser şeklindeydi. Proclus (460) tarafından verilen bu postülat VVilliam Ludlam (1785) tarafından da ya­zılmıştı. Zaten bu ileri sürülen postülatların tümü Euclit’in Elements isimli kitabının birinci cildinin otuz birinci sayfasında vardı. Yukarıdaki yazarların sunduğu postülatlar Euclit’in beşinci postulatının eşdeğer söylenişleriydi.
İlkel geometrinin düzlemsel geometri problemlerinin temelleri Euclit’in Elements isimli kitabında vardı. İkiz kenar bir üçgenin taban açıları da birbirlerine eşittir. Euclit’in birinci kitabının beşini önermesi olarak geçen bu teorem
ilk kez Thales (İ. Ö. 600) tara­fından ispatlandığını Proclus (460) söylemektedir. Yine aynı teoremin farklı bir yoldan Pappus (300) tarafından ispatlandığını Proclus söylemektedir. Bu teorem Ortaçağ boyunca matematikçilerin dikkatini çekmiş. Roger Bacon (1250) da bu teoreme değin­miştir.
Benzer üçgenler kavramı Thales (İ. Ö. 600) ve onun öncesinden başlamış
Eude-mus’la (İ. Ö. 335) devam etmiştir. Benzer üçgenler Thales tarafından yanına varılamayan uzaklıkların ölçülmesinde kullanılmıştır. Bugün orta dereceli okullarda okutulan Thales teoremleri çok sevilen kurallardır. Yalnız
yanına varılamayan uzaklıkları ölçen ilkel bazı araçlar Babilliler tarafından yapılmıştır. Euclit
Babillilerin bu aletinin karışık bir şekil olduğunu yazar. Bir şekle uydurup ispatını da veremez. Bu şeklin ispatını da­ha sonraki yüzyıllarda el Nairizi yazarı bilinmeyen birinin açıklamalarına dayandırarak verir Bunun en iyi ürünlerini de Napolyon’un (1769 -1821) matematikçileri almıştır.
Thales’in benzerliklerini en iyi ve pratik olarak uygulamalarını Rönesans yazarları kullanır. Bunların en güzel şekillerini Belli’nin (1570)
1569 yılında yayınladığı çalışma­sında görebiliriz.
Sevdiklerimize onları sonsuza kadar seveceğimizi söyleriz
hatta buna biz de inanırız. Oysa sonsuz o kadar uzak ki..- Sonsuzda ne biz varız
ne Dünya var
ne Gü­neş var
ne de Samanyolu var. Tüm kumsallardaki tüm kum tanelerini sayabiliriz. Ya da evrenin bilinen ölçüleri içinde kaç tane molekül olduğunu bile hesaplayabiliriz. Bu değerlerle düşünmeye başladığımız zaman içinde yaşadığımız zaman diliminin kıyme­tini daha iyi anlamaya başlarız. Onun ne kadar kısa
ne kadar değerli olduğunu görü­rüz. Matematikçilerin hayatı seven ama ciddiye almayan yaklaşımlarında bu sonsuz kavramıyla haşır neşir olmalarının bir etkisi var mıdır dersiniz?
Peki
bu sayma işlemlerinde kullandığımız sayıların kendilerini saymaya kalksak? Kaç tane tamsayı vardır dersiniz? Elbette sonsuz tane. Bu sonsuz kavramını kullanarak ondan daha büyük sonsuz kavramları da düşünebiliriz
Örneğin bir doğru üzerindeki herhangi iki farklı nokta arasındaki nokta sayısı daha büyük bir sonsuz değere karşılık gelir. İnsanoğlu sonsuz kavramına ancak kendini tekrar eden ve döngüye giren durum­larla yaklaşabiliyor. Sonsuz denince akla bu kavramı sanatta en iyi biçimde yakalayan ünlü grafik sanatçısı Esher geliyor. Birbirini çizen eller
birbirine dönüşen varlıklar ve içine girdiğiniz zaman sonsuza kadar çıkamayacağınız resimler.
Geometri sözcüğü Dünya’nın ölçümü anlamına gelir. Bu bilim dalı başlangıçta düzlemdeki ve uzaydaki şekillerin incelenmesini konu edindi. Adı geçen şekiller somut nesnelerden türemelerine karşın
geometri deneysel yöntemlerin kullanımını çok erken bıraktı. İspat öne çıktı. Bunun tersine
şekilleri gerçek nesnelerin ideal biçimine indir­gemeye çalıştı. Parçaları olmayan nokta
bütün noktalarda kendine benzeyen doğru ve yüzeyler birer aksiyom olarak alındı. Öte yandan geometri
gözlemi de ölçmeyi de kullanmayan postülatlar ve sonuçlarla işleyen bir kanıtlama biçimine başvurdu. Babilliler ve Mısırlılarda önceleri ispat yoktu ve daha çok deneme yöntemi kullanılıyordu. Ama Thales (İ. Ö. 626 - 545) ve Euclides’le (İ. Ö. 300) gelen geometri tümüyle ispatlıydı.
Cebirsel yöntemlerin etkinliğini ve gücünü gösteren Descartes (1596 -1650)
her tür düzlem geometri problemini bir denklemler dizisine indirgedi. Yani geometriyi aritmetikleştirdi. Bu dönemden sonra
sayısal koordinatlara dayanan bir gösterim biçimi kullanıldı ve şekilleri fonksiyonlar olarak ele aldı. Analitik geometri adı verilen bu yön­tem
büyük bir ilerleme kaydetti. On sekizinci yüzyılda üç boyutlu uzay ve yüzeyler kuramını da kapsamına aldı. Bununla birlikte bu yaklaşım
yanlış olarak birleşmiş geometri de denilen arı geometrideki şekillerin sezgisel anlamından uzaklaştı.
On dokuzuncu yüzyıl boyunca
Rönesans’tan beri sanatçılar tarafından araştırılan gösterim tekniklerine
izdüşümsel geometri sistemleştirilerek matematiksel bir içerik kazandırdı. Böylece
bireşimsel yaklaşımın geri dönüşüne tanık olundu. Çünkü
Fran­sız matematikçi Poncelet (1788 -1867) ve Chasles (1793 -1880)
şekilleri
bazı özel­liklerini koruyarak değiştiren dönüşümlerin önemini gösterdiler.
Geometrideki kilometre taşları şöyle sıralanabilir. İsa’dan önce Thales
Euclides. Apollonios
Archimedes ilk akla gelenlerdendir. Daha sonra Descartes (1637)
Desar-ques (1639)
Lazer Carnot (1803)
Jean Victor Poncelet (1822)
Janos Bolyai (1823)
Mİchei Chasles (1837)
N. Lobaçevsky (1840)
Bernard Riemann (1867)
C. Fe1ix Klein (1872)
David Hilbert (1899) ve Albert Einstein (1921) olarak sayılabilir
Hintlilerin yerli geometrilerinde de matematiksel bir ispat yoktur. Daha çok görsel ve deneysel ölçülere dayanan kuralları vardır. Bunlar da o kadar ileri bir geometri oluş­turmaz. Bin yıllık bir süre boyunca kullanılan Yunan geometrisi ise daha çok görseldir. Eski Roma geometrisi daha çok kullanım alanlarına yöneliktir.
Arazi ölçümleri
Batı Avrupa’nın uyanmasından önceki yüzyıla kadar Yunan kültürünü ve geomet­risini tam olarak müslümanlar anlamıştır. Yunan klasiklerini
Avrupa’daki karanlık çağda biri Boethius’un (510) diğeri de Euclit’in (L Ö. 300) Sements isimli kitabı vardı. Bunlardan sonra Gerbert’in (1000) ve Fibonacci’nin (1202) geometrileri sayılabilir
Analitik geometri bulunduktan sonra Apollonius’un (İ. Ö. 262-190) konikleri sen­tetik ve analitik olarak yeniden incelenmiştir. Sadece konikler değil
Geometri
Euclit geometrisinin temeli nokta iie başlar. Pisagorcular noktayı küçük bir zerre olarak tanımlamışlardır. Bu tanım aslında Aristo’dan (İ. Ö. 340) alınmıştır. Eflatun (i. ö. 380)
Eflatuncular
İspatlanamayan gerçeklere aksiyom ismi verilir. Açıkça görülen fakat ispatlana-mayan gerçeklere de postülat denir. Euciit’in geometrisi tanım
Şimdi
1. Aynı şeye eşit olan şeyler eşittir
Şimdi de postülatlara bazı örnekler verelim.
1. iki noktadan bir doğru geçer
2. iki nokta arasındaki sürekli doğru sonludur
3. Bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri bir çemberdir
4. Tüm dik açılar birbirine eşittir
5. İki doğru bir doğru ile kesildiğinde kesenin bir tarafında oluşan iki iç açının toplamı 180 dereceden küçükse
Bu postülatlar daha sonraki Yunanlı bilginler tarafından çok İncelendi ve geliştirildi. Sidonlu Zeno (İ. Ö. I. yüzyıl) farklı iki doğrunun ortak bir doğru parçası yoktur. Dördüncü ve beşinci postulatların birer teorem olduğu yine ileri sürülmüştür. Proclus (460) dör­düncü postulatı bir teorem olarak almış
Matematikte en çok tartışılan ve önemli olan beşinci postülattır. Bu postülat daha çok paralellik postülatı olarak bilinir. Yani
Proclus’un postulatına bir alternatif Playfair (1795) getirilmiştir. Playfair’in dünyaya tanıttığı postulat da şöyledir. Bir doğruya dışındaki bir noktadan yalnız bir tek paralel çizilir. Ya da kesişen iki doğru bir doğruya ve aynı doğruya paralel olamazlar. Aslında Playfair’in postulatı pratik olarak 1795 tarihinden önce biliniyordu. Çünkü
İlkel geometrinin düzlemsel geometri problemlerinin temelleri Euclit’in Elements isimli kitabında vardı. İkiz kenar bir üçgenin taban açıları da birbirlerine eşittir. Euclit’in birinci kitabının beşini önermesi olarak geçen bu teorem
Benzer üçgenler kavramı Thales (İ. Ö. 600) ve onun öncesinden başlamış
Thales’in benzerliklerini en iyi ve pratik olarak uygulamalarını Rönesans yazarları kullanır. Bunların en güzel şekillerini Belli’nin (1570)
Sevdiklerimize onları sonsuza kadar seveceğimizi söyleriz
Peki
Geometri sözcüğü Dünya’nın ölçümü anlamına gelir. Bu bilim dalı başlangıçta düzlemdeki ve uzaydaki şekillerin incelenmesini konu edindi. Adı geçen şekiller somut nesnelerden türemelerine karşın
Cebirsel yöntemlerin etkinliğini ve gücünü gösteren Descartes (1596 -1650)
On dokuzuncu yüzyıl boyunca
Geometrideki kilometre taşları şöyle sıralanabilir. İsa’dan önce Thales